EVENTO
Analise Numérica de métodos de elementos finitos para a equação da onda no domínio da frequência
Tipo de evento: Exame de Qualificação
Fenômenos de ondas acústicas, eletromagnéticas ou elásticas estão presentes em muitas ramas da ciência, das engenheiras, da indústria e das atividades humanas em geral. Físicos e engenheiros estão frequentemente interessados em simular com acurácia processos de propagação de ondas. As ondas acústicas (som) são pequenas oscilações da pressão num fluido ideal compreensível. Estas oscilações interatuam de tal forma que a energia propaga-se no meio. Assumindo uma lei constitutiva linear e considerando a propagação de ondas harmônica no tempo, obtém-se a equação de Helmholtz cujas soluções dependem fundamentalmente de um parâmetro k, chamado número de onda [1], que caracteriza a frequência de oscilações das soluções harmônicas. O desenvolvimento de métodos numéricos robustos e computacionalmente eficiente para ondas harmônicas no tempo, governadas pela equação de Helmholtz com números de ondas elevados, é um grande desafio. A qualidade da solução numérica depende significativamente do número de ondas k. Para números de ondas elevados (altas frequências) o operador diferencial associado torna-se indefinido comprometendo, assim, a estabilidade das aproximações via métodos clássicos de elementos finitos de Galerkin ou de diferenças finitas. Como analisado por Ihlenburg e Babuska [3], o método de elementos finitos com aproximações lineares apresenta comportamento assintótico adequado, com taxas de convergência ótimas, apenas para malhas extremamente refinadas, que obedecem a condição k2h ≤ 1, o que torna esta aproximação inviável para problemas reais com elevados números de ondas k. Uma das primeiras tentativas de superar estas limitações das aproximações via método de Galerkin foi o método GLS (Método de Mínimos Quadrados de Galerkin) proposto por Harari e Hugues [2]. Em uma dimensão esta formulação GLS consegue eliminar os erros de dispersão e de poluição numéricas, mas em mais de uma dimensão não apresenta ganhos significativos em relação ao método clássico de Galerkin. Loula e Fernandez [5] propuseram um método do tipo Petrov-Galerkin (QOPG) cujas funções pesos são obtidas pela minimização de um funcional local de mínimos quadrados do erro de truncamento. Este método apresenta melhores propriedades de estabilidade, precisão e robustez a distorções da malha observadas através de experimentos numéricos. Recentemente, métodos de Galerkin Descontínuo (DG) têm sido desenvolvidos para solução da equação de Helmholtz. Em particular, destacam-se os Métodos DG Hibridizados, nos quais é possível introduzir novas variáveis na fronteira dos elementos visando a uma redução do número total de graus de liberdade do sistema global através da condensação estática dos graus de liberdade associados ás aproximações no interior dos elementos. A análise numérica de métodos de elementos finitos para o problema de Helmholtz é também um grande desafio. Estimativas de erro assintóticas, respeitando a restrição hk2 ≤ 1, têm sido obtidas para aproximações clássicas via método de Galerkin. Resultados fundamentais já fora obtidos também para kh ≤ 1 , referido como comportamento pré-assintótico. Banjai L and Sauter [4] generalizaram o analise para o método de Galerkin aplicado a um problema variacional abstrato altamente indefinido podendo-se ser aplicado a problemas de Helmholtz de alta frequência. Neste trabalho, aprofundaremos no estudo tanto computacional e do analise numérico dos Métodos de Elementos Finitos Petrov-Galerkin, Híbridos e suas variações (contínuos e descontínuos) para a equação de Helmholtz com o objetivo de analisar os métodos já desenvolvidos e propor novos métodos usando diferentes tipos de malhas que melhorem os resultados que até agora forem obtidos.
Data Início: 05/12/2016 Hora: 10:00 Data Fim: 05/12/2016 Hora: 12:00
Local: LNCC - Laboratório Nacional de Computação Ciêntifica - Auditorio B
Aluno: Martha H. Timoteo Sanchez - - LNCC
Orientador: Abimael Fernando Dourado Loula - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
Participante Banca Examinadora: Alexandre Loureiro Madureira - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC Eduardo Gomes Dutra do Carmo - Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ Sandra Mara Cardoso Malta - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
